Bycirk normalny

Bycirk (we ${ℝ}^2$) normalny wele uośi OX – podzorta D płaskego placu ze wyrůżńůnym kartezjońskim ukłodem koordynatůw kery je uograniczoůy dwůma wykresůma funkcyji ćůngłych a prostymi růwnolygłymi do uośi OY.

Zorta $D\subseteq {ℝ}^2$ je bycirkem normalnym wele uośi OX eli

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:a⩽x⩽b;f(x)⩽y⩽g(x)\},$

kaj $f,g:[a,b]⟶ℝ$ sům ćůngłymi funkcyjůma, $a<b$.

Proste $x=a$ a $x=b$ uograńiczajům bycirk po prawyj a lewyj zajće, a krziwe $y=g(x)$ a $y=f(x)$ uodpedńo uod wjyrchu a dołu.

Plac bycirku normalnygo

Plac $|D|$ bycirku normalnygo $D\subseteq {ℝ}^2$ rachuje śe podug mustra:

$|D|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x$

Beztuż co:

$f(x)$ je ćůngło we przedźole $[a,b]$, skiż tygo zaspokojo założyńo twierdzyńo Weierstraßa, beztuż$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ załaźi $f(x)>m$ lo uůnygoś $m\in ℝ$.

Eli $m<0$ to trza szibnůńć bycirk $D$ uo wektor $[0,-m]$.

Uotrzymony bycirk $D^{\prime }=D$ skiż tygo, co szibńyńće uo wektor (translacyjo) je izomeryjům.

Uoznoczmy $f_1(x)=f(x)+m$ a $g_1(x)=g(x)+m$.

Plac tygo bycirku normalnygo je růwne růżńicy dwůch trapyzůw krzywolińowych:

$|D|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_1(x)\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_1(x)-g_1(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$

Skuli tygo, aże $f_1(x)$ a $g_1(x)$ růżńům śe uod $f_1(x)$ a $g_1(x)$ ino uo stało. QED.

Bycirk normalny we placu trůjwymjarowym

Zorta $V\subseteq {ℝ}^3$ je bycirkem normalnym wele płaszczyzny xy eli je bycirk normalny $V^{\prime }\subseteq {ℝ}^2$ a ćůngłe a uograńiczone funkcyje $f,g:V^{\prime }⟶ℝ,f⩽g$, take, aże:

$V=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:(x,y)\in V^{\prime }z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.$

Analogiczńe defińuje śe bycirk normalny wele inkszych płaszczyzn. Muster:Przipisy